pemodelan matematika

Kelompok :      Dwi arianto                             (09006021)

                        Radiwan                                  (09006022)

                        Agus Susila                              (09006023)

                        Muhammad Nur Bintoro        (09006027)

Masalah Real:

Suatu larutan dengan konsentrasi tertentu jika dicampur dengan larutan yang sama namun dengan konsentrasi yang berbeda maka akan menjadi larutan dengan konsentrasi larutan yang berbeda pula. jika penambahan dilakukan 1 kali saja, maka konsentrasi larutan baru yang terbentuk dengan mudah dapat dihitung. Namun bagaimana jika penambahan larutan dilakukan secara terus-menerus dalam selang waktu tertentu, sedangkan disaat yang bersamaan, larutan dalam wadah dialirkan keluar dengan debit yang sama dengan aliran masuk. Bagaimanakah konsentrasi larutan setelah selang waktu tertentu?

Model Real:

Sekelompok Siswa SMA jurusan IPA melakukan percobaan tentang larutan kimia. Percobaan menggunakan tangki berkapasitas 20 liter dan dalam tangki itu diisi penuh dengan cairan (larutan) yang mengandung 1/10 kilogram garam setiap liternya. Kemudian kedalam tangki itu dialirkan larutan garam yang mengandung ½ kilogram garam per liternya dengan laju aliran 1 liter/menit. Disaat yang bersamaan didasar tangki dibuat kran sehingga larutan dalam tangki mengalir keluar dengan laju yang sama dengan laju aliran masuknya larutan. Selama percobaan, larutan dalam tangki di aduk terus-menerus sedemikian hingga larutan tercampur secara sempurna dan homogen. Setelah kelompok siswa itu melakukan percobaan ini selama 10 menit, mereka menghentikan aliran masuk dan aliran keluar larutan tersebut. Berapakah konsentrasi larutan garam setelah siswa melakukan percobaan itu?

Asumsi:            -     Aliran masuk dan keluar berlangsung konstan dan kontinu

-          Kondisi larutan selalu homogen (larutan dan cairan bercampur sempurna)

-          Tangki tidak mengalami kebocoran

Misalkan:        y adalah kandungan garam dalam larutan setelah t menit

                        t adalah waktu pengamatan

karena didalam tangki dimasukkan larutan garam yang mengandung ½  kg garam per menit secara kontinu, maka ke dalam larutan terjadi penambahan garam sebesar ½ kg per menit. Dan karena disaat yang bersamaan mengalir keluar larutan sebesar 1 liter per menit,  berarti pada saat yang bersamaan mengalir keluar garam sebesar 1/20 y. (laju perubahan kandungan garam dalam larutan sebesar 1/2 - 1/20 y)

Disamping itu diketahui kandungan awal garam dalam larutan itu sebesar 1/10 kg/lt x 20 lt = 2 kg

Model matematis:

Dari model real diatas kita dapat menyusun model matematisnya sebagai berikut: 

misal   u= e^t/20             u’=1/20. e^t/20

                        v=y                   v’=dy/dt           sehingga di dapat

uv’+u’v=1/2u

d(uv)/dt=1/2u

d(e^t/20.y)/dt = 1/2 e^t/20

d(e^t/20.y) = 1/2 e^t/20 dt

+ C

Y(t) = 10 + C/ e^t/20

Masalah nilai awal

Y(0) = 2

10 + C/1 = 2

            C = -8

Sehingga model matematis untuk permasalahan diatas adalah y(t) = 10 – 8/ e^t/20

Penyelesaian model :

Y (10) = 10 – 8/ e^10/20

            = 10 – 8/ e^1/2

                        = 10 – 8/1,6487

            = 10 – 4,8523

            = 5,1476

Jadi kandungan garam setelah percobaan selama 10 menit adalah 5,1476  Kg