A. SEJARAH KEGUNAAN MATEMATIKA
1). MATEMATIKA
Sebagai BAHASA.
Di manakah
letak konsep-konsep matematika, misalnya letak bilangan 1? Banyak para pakar
matematika, misalnya para pakar Teori Model (lihat model matematika) yang juga
mendalami filsafat di balik konsep-konsep matematika bersepakat bahwa semua
konsep-konsep matematika secara universal terdapat di dalam pikiran setiap
manusia. Jadi, yang dipelajari di dalam matematika adalah berbagai lambang dan
ungkapan untuk mengomunikasikannya. Misalnya orang Jawa secara lisan memberi
lambang bilangan 3 dengan mengatakan Telu sedangkan dalam bahasa Indonesia,
bilangan tersebut dilambangkan melalui ucapan Tiga. Inilah sebabnya, banyak pakar
mengkelompokkan matematika ke dalam kelompok bahasa, atau lebih umum lagi dalam
kelompok (alat) komunikasi, bukan ilmu pengetahuan.
Dalam
pandangan formalis, matematika adalah penelaahan struktur abstrak yang
didefinisikan secara aksiomatis dengan menggunakan logika simbolik dan notasi
matematika; ada pula pandangan lain, misalnya yang dibahas dalam filsafat
matematika.
Struktur
spesifik yang diselidiki oleh matematikawan sering kali berasal dari ilmu
pengetahuan alam, dan sangat umum di fisika, tetapi matematikawan juga
mendefinisikan dan menyelidiki struktur internal dalam matematika itu sendiri,
misalnya, untuk menggeneralisasikan teori bagi beberapa sub-bidang, atau alat
bantu untuk perhitungan biasa. Akhirnya, banyak matematikawan belajar bidang yang
dilakukan mereka untuk sebab estetis saja, melihat ilmu pasti sebagai bentuk
seni daripada sebagai ilmu praktis atau terapan.
Matematika
tingkat lanjut digunakan sebagai alat untuk mempelajari berbagai gejala fisika
yang kompleks, khususnya berbagai gejala alam yang teramati, agar pola
struktur, perubahan, ruang dan sifat-sifat gejala bisa didekati atau dinyatakan
dalam sebuah bentuk perumusan yang sistematis dan penuh dengan berbagai
perjanjian, lambang, dan notasi. Hasil
perumusan yang menggambarkan perilaku
atau proses gejala fisika tersebut biasa disebut model matematika dari gejala.
1
2). MATEMATIKA
Sebagai RAJA Sekaligus PELAYAN
Ada pendapat
terkenal yang memandang matematika sebagai pelayan dan sekaligus raja dari
ilmu-ilmu lain. Sebagai pelayan, matematika adalah ilmu yang mendasari dan
melayani berbagai ilmu pengetahuan lain. Sejak masa sebelum masehi, misalnya
zaman Mesir kuno, cabang tertua dan termudah dari matematika (aritmetika) sudah
digunakan untuk membuat piramida, digunakan untuk menentukan waktu turun hujan,
dan sebagainya.
Sebagai raja,
perkembangan matematika tak tergantung pada ilmu-ilmu lain. Banyak cabang
matematika yang dulu biasa disebut matematika murni, dikembangkan oleh beberapa
matematikawan yang mencintai dan belajar matematika hanya sebagai kegemaran
tanpa memedulikan fungsi dan manfaatnya untuk ilmu-ilmu lain. Dengan
perkembangan teknologi, banyak cabang-cabang matematika murni yang ternyata di
kemudian hari bisa diterapkan dalam berbagai ilmu pengetahuan dan teknologi mutakhir.
3). MATEMATIKA
Sebagai ILMU PENGETAHUAN
Carl
Friedrich Gauss mengatakan matematika sebagai “Ratunya Ilmu Pengetahuan”. Di
dalam bahasa aslinya, Latin Regina Scientiarum, juga di dalam bahasa Jerman
Königin der Wissenschaften, kata yang bersesuaian dengan ilmu pengetahuan
berarti (lapangan) pengetahuan. Jelas, inipun arti asli di dalam bahasa
Inggris, dan tiada keraguan bahwa matematika di dalam konteks ini adalah sebuah
ilmu pengetahuan. Pengkhususan yang mempersempit makna menjadi ilmu pengetahuan
alam adalah di masa terkemudian. Bila seseorang memandang ilmu pengetahuan
hanya terbatas pada dunia fisika, maka matematika, atau sekurang-kurangnya
matematika murni, bukanlah ilmu pengetahuan. Albert Einstein menyatakan bahwa
“sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, maka mereka tidaklah
pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan.”
Banyak filsuf
yakin bahwa matematika tidaklah terpalsukan berdasarkan percobaan, dan dengan
demikian bukanlah ilmu pengetahuan per definisi Karl Popper. Tetapi, di dalam
karya penting tahun 1930-an tentang logika matematika menunjukkan bahwa
matematika tidak bisa direduksi menjadi logika, dan Karl Popper menyimpulkan
bahwa “sebagian besar teori matematika, seperti halnya fisika dan biologi, adalah
hipotetis-deduktif: oleh karena itu matematika menjadi lebih dekat ke ilmu
pengetahuan alam yang hipotesis-hipotesisnya adalah konjektur (dugaan), lebih
daripada sebagai hal yang baru.” Para bijak bestari lainnya,
2
sebut saja Imre Lakatos, telah
menerapkan satu versi pemalsuan kepada matematika itu sendiri.
Sebuah
tinjauan alternatif adalah bahwa lapangan-lapangan ilmiah tertentu (misalnya
fisika teoretis) adalah matematika dengan aksioma-aksioma yang ditujukan
sedemikian sehingga bersesuaian dengan kenyataan. Faktanya, seorang fisikawan
teoretis, J. M. Ziman, mengajukan pendapat bahwa ilmu pengetahuan adalah
pengetahuan umum dan dengan demikian matematika termasuk di dalamnya.] Di
beberapa kasus, matematika banyak saling berbagi dengan ilmu pengetahuan
fisika, sebut saja penggalian dampak-dampak logis dari beberapa anggapan.
Intuisi dan percobaan juga berperan penting di dalam perumusan
konjektur-konjektur, baik itu di matematika, maupun di ilmu-ilmu pengetahuan
(lainnya). Matematika percobaan terus bertumbuh kembang, mengingat
kepentingannya di dalam matematika, kemudian komputasi dan simulasi memainkan
peran yang semakin menguat, baik itu di ilmu pengetahuan, maupun di matematika,
melemahkan objeksi yang mana matematika tidak menggunakan metode ilmiah. Di
dalam bukunya yang diterbitkan pada 2002 A New Kind of Science, Stephen Wolfram
berdalil bahwa matematika komputasi pantas untuk digali secara empirik sebagai
lapangan ilmiah di dalam haknya/kebenarannya sendiri.
Pendapat-pendapat
para matematikawan terhadap hal ini adalah beraneka macam. Banyak matematikawan
merasa bahwa untuk menyebut wilayah mereka sebagai ilmu pengetahuan sama saja
dengan menurunkan kadar kepentingan sisi estetikanya, dan sejarahnya di dalam
tujuh seni liberal tradisional; yang lainnya merasa bahwa pengabaian pranala
ini terhadap ilmu pengetahuan sama saja dengan memutar-mutar mata yang buta
terhadap fakta bahwa antarmuka antara matematika dan penerapannya di dalam ilmu
pengetahuan dan rekayasa telah mengemudikan banyak pengembangan di dalam
matematika. Satu jalan yang dimainkan oleh perbedaan sudut pandang ini adalah
di dalam perbincangan filsafat apakah matematika diciptakan (seperti di dalam
seni) atau ditemukan (seperti di dalam ilmu pengetahuan). Adalah wajar bagi
universitas bila dibagi ke dalam bagian-bagian yang menyertakan departemen Ilmu
Pengetahuan dan Matematika, ini menunjukkan bahwa lapangan-lapangan itu
dipandang bersekutu tetapi mereka tidak seperti dua sisi keping uang logam.
Pada tataran praktisnya, para matematikawan biasanya dikelompokkan bersama-sama
para ilmuwan pada tingkatan kasar, tetapi dipisahkan pada tingkatan akhir. Ini
adalah salah satu dari banyak perkara yang diperhatikan di dalam filsafat
matematika.
3
Penghargaan
matematika umumnya dipelihara supaya tetap terpisah dari kesetaraannya dengan
ilmu pengetahuan. Penghargaan yang adiluhung di dalam matematika adalah Fields
Medal (medali lapangan), dimulakan pada 1936 dan kini diselenggarakan tiap
empat tahunan. Penghargaan ini sering dianggap setara dengan Hadiah Nobel ilmu
pengetahuan. Wolf Prize in Mathematics, dilembagakan pada 1978, mengakui masa
prestasi, dan penghargaan internasional utama lainnya, Hadiah Abel,
diperkenalkan pada 2003. Ini dianugerahkan bagi ruas khusus karya, dapat berupa
pembaharuan, atau penyelesaian masalah yang terkemuka di dalam lapangan yang
mapan. Sebuah daftar terkenal berisikan 23 masalah terbuka, yang disebut
“masalah Hilbert”, dihimpun pada 1900 oleh matematikawan Jerman David Hilbert.
Daftar ini meraih persulangan yang besar di antara para matematikawan, dan
paling sedikit sembilan dari masalah-masalah itu kini terpecahkan. Sebuah
daftar baru berisi tujuh masalah penting, berjudul “Masalah Hadiah Milenium”,
diterbitkan pada 2000. Pemecahan tiap-tiap masalah ini berhadiah US$ 1 juta,
dan hanya satu (hipotesis Riemann) yang mengalami penggandaan di dalam
masalah-masalah Hilbert.
B. SEJARAH
ILMU MATEMATIKA
Matematika
(dari bahasa Yunani: μαθηματικά – mathēmatiká) adalah studi besaran, struktur,
ruang, relasi, perubahan, dan beraneka topik pola, bentuk, dan entitas. Para
matematikawan mencari pola dan dimensi-dimensi kuantitatif lainnya, berkenaan
dengan bilangan, ruang, ilmu pengetahuan alam, komputer, abstraksi imajiner,
atau entitas-entitas lainnya. Dalam pandangan formalis, matematika adalah
pemeriksaan aksioma yang menegaskan struktur abstrak menggunakan logika
simbolik dan notasi matematika; pandangan lain tergambar dalam filsafat
matematika. Para matematikawan merumuskan konjektur dan kebenaran baru melalui
deduksi yang menyeluruh dari beberapa aksioma dan definisi yang dipilih dan
saling bersesuaian.
Euclid,
matematikawan Yunani, abad ke-3 SM, seperti yang dilukiskan oleh Raphael di
dalam detail ini dari The School of Athens.
Terdapat
perselisihan tentang apakah objek-objek matematika hadir secara objektif di
alam menurut kemurnian logikanya, atau apakah objek-objek itu buatan manusia
dan terpisah dari kenyataan. Seorang matematikawan Benjamin Peirce menyebut
matematika sebagai “ilmu yang menggambarkan simpulan-simpulan yang
penting”. Albert Einstein, di pihak
4
lain, menyatakan bahwa “sejauh
hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan
sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan.”
Melalui
penggunaan abstraksi dan penalaran logika, matematika dikembangkan dari
pencacahan, penghitungan, pengukuran, dan pengkajian sistematik terhadap bentuk
dan gerak objek-objek fisika. Pengetahuan dan penggunaan matematika dasar
selalu menjadi sifat melekat dan bagian utuh dari kehidupan individual dan
kelompok. Pemurnian gagasan-gagasan dasar dapat diketahui di dalam
naskah-naskah matematika yang bermula di dunia Mesir kuno, Mesopotamia, India,
Cina, Yunani, dan Islam. Argumentasi kaku pertama muncul di dalam Matematika
Yunani, terutama di dalam buku Euclid, Unsur-Unsur. Pengembangan berlanjut di
dalam ledakan yang tidak menenteramkan hingga periode Renaisans pada abad ke-16,
ketika pembaharuan matematika berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru,
mengarah pada percepatan penelitian yang menerus hingga Kini.
Kini,
matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang,
termasuk ilmu pengetahuan alam, rekayasa, medis, dan ilmu pengetahuan sosial
seperti ekonomi, dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang
melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami
dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang
mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru. Para
matematikawan juga bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk
perkembangan matematika itu sendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran,
meskipun penerapan praktis yang menjadi latar munculnya matematika murni
ternyata seringkali ditemukan terkemudian.
Secara umum,
semakin kompleks suatu gejala, semakin kompleks pula alat (dalam hal ini jenis
matematika) yang melalui berbagai perumusan (model matematikanya) diharapkan
mampu untuk mendapatkan atau sekadar mendekati penyelesaian eksak
seakurat-akuratnya. Jadi, tingkat kesulitan suatu jenis atau cabang matematika
bukan disebabkan oleh jenis atau cabang matematika itu sendiri, melainkan
disebabkan oleh sulit dan kompleksnya gejala yang penyelesaiannya diusahakan
dicari atau didekati oleh perumusan (model matematikanya) dengan menggunakan
jenis atau cabang matematika tersebut. Sebaliknya berbagai gejala fisika yang
mudah diamati, misalnya jumlah penduduk di seluruh Indonesia, tidak memerlukan
jenis atau cabang matematika yang canggih. Kemampuan aritmetika sudah cukup
untuk mencari penyelesaian (jumlah penduduk) dengan keakuratan yang cukup
tinggi.
5
Kata
“matematika” berasal dari Yunani μάθημα (máthēma), yang berarti pengkajian,
pembelajaran, ilmu, yang ruang lingkupnya menyempit, dan arti teknisnya menjadi
“pengkajian matematika”, bahkan demikian juga pada zaman kuno. Kata sifatnya
adalah μαθηματικός (mathēmatikós), berkaitan dengan pengkajian, atau tekun
belajar, yang lebih jauhnya berarti matematis. Secara khusus, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), di dalam bahasa
Latin ars mathematica, berarti seni matematika.
Bentuk jamak
sering dipakai di dalam bahasa Inggris, seperti juga di dalam bahasa Perancis
les mathématiques (dan jarang digunakan sebagai turunan bentuk tunggal la
mathématique), merujuk pada bentuk jamak bahasa Latin yang cenderung netral
mathematica (Cicero), berdasarkan bentuk jamak bahasa Yunani τα μαθηματικά (ta
mathēmatiká), yang dipakai Aristotle, yang terjemahan kasarnya berarti “segala
hal yang matematis”. Tetapi, di dalam bahasa Inggris, kata benda mathematics
mengambil bentuk tunggal bila dipakai sebagai kata kerja. Di dalam ragam
percakapan, matematika kerap kali disingkat sebagai math di Amerika Utara dan
maths di tempat lain.
Cakupan
pengkajian yang disebut sebagai sejarah matematika adalah terutama berupa
penyelidikan terhadap asal muasal temuan baru di dalam matematika, di dalam
ruang lingkup yang lebih sempit berupa penyelidikan terhadap metode dan notasi
matematika baku di masa silam.
Evolusi
matematika dapat dipandang sebagai sederetan abstraksi yang selalu bertambah
banyak, atau perkataan lainnya perluasan pokok masalah. Abstraksi pertama, yang
dibagi oleh banyak binatang[10], adalah tentang bilangan: pernyataan bahwa dua
apel dan dua jeruk (sebagai contoh) memiliki jumlah yang sama.
Selain
mengetahui cara cacah objek-objek fisika, manusia prasejarah juga mengenali
cara mencacah besaran abstrak, seperti waktu — hari, musim, tahun. Aritmetika
dasar (pertambahan, perkurangan, perkalian, dan perbagian) mengikuti secara
alami.
Langkah
selanjutnya memerlukan penulisan atau sistem lain untuk mencatatkan bilangan,
semisal tali atau dawai bersimpul yang disebut quipu dipakai oleh bangsa Inca
untuk menyimpan data numerik. Sebelum zaman modern dan pengetahuan mendunia,
contoh-contoh tertulis dari pengembangan matematika yang baru telah mencapai
kemilaunya
6
hanya di beberapa tempat. Sistem
bilangan ada banyak dan bermacam-macam, bilangan tertulis yang pertama
diketahui ada di dalam naskah warisan Mesir Kuno di Kerajaan Tengah Mesir yaitu
Lembaran Matematika Rhind (1650 SM). Peradaban lembah Indus mengembangkan
sistem desimal modern, termasuk konsep nol. Tulisan matematika terkuno lainnya
yang pernah ditemukan adalah Plimpton 322 (Matematika Babilonia yang berangka
tahun 1900 SM), Lembaran Matematika Moskow (Matematika Mesir yang berangka
tahun 1850 SM), dan Shulba Sutra (Matematika India yang berangka tahun 800 SM).
Semua tulisan yang bersangkutan memusatkan perhatian kepada apa yang biasa
dikenal sebagai Teorema Pythagoras, yang kelihatannya sebagai hasil pembangunan
matematika yang paling kuno dan tersebar luas setelah aritmetika dasar dan
geometri.
1. Sistem bilangan Maya
Dari
permulaan sejarah tercatat, disiplin-disiplin utama di dalam matematika muncul
karena kebutuhan perhitungan yang berkaitan dengan pajak dan dagang, untuk
memahami keterkatitan antarbilangan, untuk pengukuran tanah, dan untuk meramal
peristiwa astronomi. Kebutuhan ini secara garis besar dapat dikaitkan dengan
cabang-cabang besar matematika yang mengkaji besaran, struktur, ruang, dan
perubahan.
Matematika
sejak saat itu segera berkembang luas, dan terdapat interaksi bermanfaat antara
matematika dan sains, menguntungkan kedua belah pihak. Penemuan-penemuan
matematika dibuat sepanjang sejarah dan berlanjut hingga kini. Menurut Mikhail
B. Sevryuk, pada Januari 2006 terbitan Buletin Masyarakat Matematika Amerika,
“Banyaknya makalah dan buku yang dilibatkan di dalam basis dataMathematical
Reviews sejak 1940 (tahun pertama beroperasinya MR) kini melebihi 1,9 juta, dan
melebihi 75 ribu artikel ditambahkan ke dalam basis data itu tiap tahun.
Sebagian besar karya di samudera ini berisi teorema matematika baru beserta
bukti-buktinya
